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文系のための、ざっくり素数の話

2022.08.22

文系のための、ざっくり素数の話

素数とは、1より大きい整数のうち、1とその数自身でしか割り切れない数のことです。

2は、一番小さい素数で、 かつ偶数で唯一の素数です。
3、5、7も素数ですが、89も、2521も、1299007も素数です。

整数論の基本定理によれば、1より大きいすべての整数は、素数の積として表現することができます。

つまり、素数は正の整数すべての基本単位なのです。
例えば、209328は、 素数の積として、「209328=2⁴×3×7²×89」 と書くことができます。

ふたつ以上の素数の積であるような数を、 合成数といいます。

6は合成数 (2×3) で、209328も合成数です。

素数の数は無限にあります。
このことをアレクサンドリアのエウクレイデス (ユークリッド)は、紀元前3世紀に史上はじめて証明しました。
彼の証明はシンプルかつエレガント。
まず彼は、素数が有限個しかないと仮定しました。
次に、この素数をすべて乗じていきます。
つまり「2×3×5×7×…×最大の素数」を計算するのです。
そうして得られた数に1を加える。
この新しい数は、どの素数で割っても余りが必ず1になります。
1を足したことで新たな素数が生まれたのです。
このことから、新たな素数は常に見つかるといえます。

素数を求める方法を見つけることは、今も数学では最大の難問のひとつでしょう。

数学者たちは、すべての素数を計算で求めることのできる万能の公式をまだ見つけられずにいますが、史上最大の素数の記録は今も破られ続けています。

ちなみに、2018年12月の時点で「素数として確認された最大の数」は 282,589,933−1 で、この素数は24,862,048 桁の長さを持っています。

この素数もすぐ更新されるでしょうけどね。

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